Mengasah Kemampuan Matematika: Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap untuk Kelas 3 SMK

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menakutkan, namun bagi siswa Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) kelas 3, matematika adalah fondasi penting yang akan sangat menentukan keberhasilan mereka di dunia kerja atau jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Di tahun terakhir ini, fokus matematika tidak hanya pada konsep teoretis, tetapi lebih pada aplikasi praktis yang relevan dengan bidang keahlian masing-masing, seperti Teknik, Bisnis dan Manajemen, Teknologi Informasi, Pariwisata, atau Kesehatan.

Artikel ini akan mengupas tuntas beberapa contoh soal matematika yang relevan untuk siswa kelas 3 SMK, dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah. Tujuan utamanya adalah membantu siswa memahami jenis soal yang akan mereka hadapi, mengasah kemampuan analisis, dan meningkatkan kepercayaan diri dalam menghadapi ujian maupun tantangan di masa depan.

Mengapa Matematika Penting di Kelas 3 SMK?

Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita pahami mengapa matematika di kelas 3 SMK begitu krusial:

Persiapan Ujian Nasional/Sekolah: Matematika adalah salah satu mata pelajaran inti yang diujikan. Penguasaan konsep dan kemampuan menyelesaikan soal sangat penting untuk meraih nilai terbaik.
Keterampilan Pemecahan Masalah: Matematika melatih logika dan kemampuan memecahkan masalah kompleks, keterampilan yang sangat dicari di berbagai profesi.
Dasar Profesi: Banyak bidang keahlian di SMK yang memerlukan dasar matematika kuat. Misalnya, akuntansi memerlukan perhitungan cermat, teknik memerlukan pemahaman kalkulus dan fisika, IT memerlukan logika matematika dan algoritma, dan pariwisahan memerlukan perhitungan biaya dan statistik.
Lanjutan Pendidikan: Bagi yang ingin melanjutkan ke perguruan tinggi, khususnya politeknik atau universitas dengan jurusan teknik/eksakta, dasar matematika yang kuat adalah mutlak.

Mari kita selami beberapa contoh soal dari berbagai topik yang umumnya dipelajari di kelas 3 SMK.

I. Kalkulus (Aplikasi Turunan dan Integral)

Meskipun kalkulus mungkin terdengar rumit, penerapannya di SMK seringkali fokus pada optimasi (mencari nilai maksimum/minimum) dan perhitungan terkait perubahan.

Contoh Soal 1: Aplikasi Turunan (Optimasi Keuntungan)

Sebuah perusahaan konveksi memproduksi kemeja. Biaya produksi $x$ unit kemeja per hari dinyatakan dengan fungsi $B(x) = 2x^2 – 100x + 10.000$ (dalam ribuan rupiah). Jika harga jual satu kemeja adalah Rp300.000, tentukanlah:
a. Fungsi pendapatan $P(x)$.
b. Fungsi keuntungan $K(x)$.
c. Jumlah kemeja yang harus diproduksi agar perusahaan memperoleh keuntungan maksimum.
d. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan.

Pembahasan:

a. Fungsi Pendapatan $P(x)$
Pendapatan adalah harga jual per unit dikalikan jumlah unit yang terjual.
Harga jual per kemeja = Rp300.000 = 300 (dalam ribuan rupiah, agar sesuai dengan satuan biaya).
$P(x) = textHarga Jual per unit times x$
$P(x) = 300x$

b. Fungsi Keuntungan $K(x)$
Keuntungan adalah Pendapatan dikurangi Biaya Produksi.
$K(x) = P(x) – B(x)$
$K(x) = 300x – (2x^2 – 100x + 10.000)$
$K(x) = 300x – 2x^2 + 100x – 10.000$
$K(x) = -2x^2 + 400x – 10.000$

c. Jumlah kemeja agar keuntungan maksimum
Untuk mencari nilai maksimum suatu fungsi, kita gunakan turunan pertama dan setarakan dengan nol ($K'(x) = 0$).
$K(x) = -2x^2 + 400x – 10.000$
$K'(x) = fracddx(-2x^2 + 400x – 10.000)$
$K'(x) = -4x + 400$

Setarakan $K'(x)$ dengan nol:
$-4x + 400 = 0$
$400 = 4x$
$x = frac4004$
$x = 100$

Jadi, perusahaan harus memproduksi 100 unit kemeja agar memperoleh keuntungan maksimum.

d. Keuntungan maksimum
Substitusikan nilai $x = 100$ ke dalam fungsi keuntungan $K(x)$.
$K(100) = -2(100)^2 + 400(100) – 10.000$
$K(100) = -2(10.000) + 40.000 – 10.000$
$K(100) = -20.000 + 40.000 – 10.000$
$K(100) = 20.000 – 10.000$
$K(100) = 10.000$

Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan adalah Rp10.000 (dalam ribuan rupiah), yaitu Rp10.000.000,00.

II. Statistika dan Peluang

Statistika dan peluang sangat relevan dalam analisis data, kontrol kualitas, dan pengambilan keputusan di berbagai bidang, termasuk bisnis, manufaktur, dan IT.

Contoh Soal 2: Statistika (Distribusi Data dan Ukuran Pemusatan)

Nilai ujian Matematika dari 40 siswa kelas 3 SMK disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut:

Nilai Ujian	Frekuensi
50 – 59	4
60 – 69	8
70 – 79	14
80 – 89	10
90 – 99	4

Tentukanlah:
a. Rata-rata (Mean) nilai ujian siswa.
b. Median nilai ujian siswa.
c. Modus nilai ujian siswa.

Pembahasan:

a. Rata-rata (Mean)

Untuk menghitung mean dari data kelompok, kita gunakan rumus:
$barx = fracsum f_i x_isum f_i$
Di mana $f_i$ adalah frekuensi dan $x_i$ adalah titik tengah kelas.

Mari kita lengkapi tabel dengan titik tengah ($x_i$) dan $f_i x_i$:

Nilai Ujian	Frekuensi ($f_i$)	Titik Tengah ($x_i$)	$f_i x_i$
50 – 59	4	(50+59)/2 = 54.5	4 * 54.5 = 218
60 – 69	8	(60+69)/2 = 64.5	8 * 64.5 = 516
70 – 79	14	(70+79)/2 = 74.5	14 * 74.5 = 1043
80 – 89	10	(80+89)/2 = 84.5	10 * 84.5 = 845
90 – 99	4	(90+99)/2 = 94.5	4 * 94.5 = 378
Total	$sum f_i = 40$		$sum f_i x_i = 3000$

$barx = frac300040 = 75$

Rata-rata (Mean) nilai ujian siswa adalah 75.

b. Median

Median adalah nilai tengah. Untuk data kelompok, kita gunakan rumus:
$Me = L + left(fracfrac12n – Ffright)p$
Di mana:
$L$ = Batas bawah kelas median
$n$ = Jumlah total data
$F$ = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median
$f$ = Frekuensi kelas median
$p$ = Panjang kelas

Tentukan posisi median: $frac12n = frac12(40) = 20$. Median terletak pada data ke-20.
Tentukan kelas median:
- Kelas 50-59: Fk = 4
- Kelas 60-69: Fk = 4 + 8 = 12
- Kelas 70-79: Fk = 12 + 14 = 26. Data ke-20 berada di kelas ini. Jadi, kelas median adalah 70 – 79.
Identifikasi nilai-nilai untuk rumus:
- $L$ = Batas bawah kelas median – 0.5 = 70 – 0.5 = 69.5
- $F$ = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median = 12
- $f$ = Frekuensi kelas median = 14
- $p$ = Panjang kelas = 59.5 – 49.5 = 10 (atau 69-60+1 = 10)

Substitusikan nilai-nilai ke rumus median:
$Me = 69.5 + left(frac20 – 1214right)10$
$Me = 69.5 + left(frac814right)10$
$Me = 69.5 + left(frac47right)10$
$Me = 69.5 + frac407$
$Me = 69.5 + 5.714$ (dibulatkan)
$Me = 75.214$

Median nilai ujian siswa adalah sekitar 75.21.

c. Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Untuk data kelompok, kita gunakan rumus:
$Mo = L + left(fracd_1d_1 + d_2right)p$
Di mana:
$L$ = Batas bawah kelas modus
$d_1$ = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
$d_2$ = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
$p$ = Panjang kelas

Tentukan kelas modus: Kelas dengan frekuensi tertinggi adalah 70 – 79 (frekuensi 14).
Identifikasi nilai-nilai untuk rumus:
- $L$ = Batas bawah kelas modus – 0.5 = 70 – 0.5 = 69.5
- $d_1$ = Frekuensi kelas modus – Frekuensi kelas sebelumnya = 14 – 8 = 6
- $d_2$ = Frekuensi kelas modus – Frekuensi kelas sesudahnya = 14 – 10 = 4
- $p$ = Panjang kelas = 10

Substitusikan nilai-nilai ke rumus modus:
$Mo = 69.5 + left(frac66 + 4right)10$
$Mo = 69.5 + left(frac610right)10$
$Mo = 69.5 + 6$
$Mo = 75.5$

Modus nilai ujian siswa adalah 75.5.

Contoh Soal 3: Peluang (Kombinasi)

Sebuah tim bulutangkis terdiri dari 8 atlet putra dan 6 atlet putri. Jika akan dipilih 4 atlet untuk mengikuti pertandingan ganda campuran (2 putra dan 2 putri), berapa banyak susunan pasangan ganda campuran yang dapat dibentuk?

Pembahasan:

Ini adalah masalah kombinasi karena urutan pemilihan atlet tidak diperhitungkan.

Memilih atlet putra:
Dari 8 atlet putra, akan dipilih 2.
Menggunakan rumus kombinasi $C(n, k) = fracn!k!(n-k)!$
$C(8, 2) = frac8!2!(8-2)! = frac8!2!6! = frac8 times 7 times 6!2 times 1 times 6! = frac8 times 72 = 4 times 7 = 28$ cara.
Memilih atlet putri:
Dari 6 atlet putri, akan dipilih 2.
$C(6, 2) = frac6!2!(6-2)! = frac6!2!4! = frac6 times 5 times 4!2 times 1 times 4! = frac6 times 52 = 3 times 5 = 15$ cara.
Menentukan total susunan ganda campuran:
Karena pemilihan putra dan putri adalah kejadian independen, total susunan adalah hasil kali dari cara pemilihan putra dan putri.
Total susunan = $C(8, 2) times C(6, 2) = 28 times 15$
$28 times 15 = 420$

Jadi, ada 420 susunan pasangan ganda campuran yang dapat dibentuk.

III. Matriks dan Vektor (Sistem Persamaan Linear)

Matriks dan vektor banyak digunakan dalam pemodelan sistem, grafika komputer, robotika, dan analisis data, serta untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang kompleks.

Contoh Soal 4: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Matriks (Metode Eliminasi Gauss/Cramer)

Sebuah pabrik memproduksi tiga jenis barang: A, B, dan C. Untuk memproduksi setiap unit barang, dibutuhkan bahan baku dan waktu pengerjaan yang berbeda:

Barang A: 2 kg bahan baku, 3 jam waktu pengerjaan
Barang B: 3 kg bahan baku, 2 jam waktu pengerjaan
Barang C: 1 kg bahan baku, 4 jam waktu pengerjaan

Dalam sehari, pabrik memiliki persediaan 30 kg bahan baku dan 35 jam waktu pengerjaan. Jika harga jual barang A, B, dan C berturut-turut adalah Rp50.000, Rp70.000, dan Rp40.000 per unit, dan total penjualan harian adalah Rp760.000, berapa banyak masing-masing barang (A, B, C) yang diproduksi per hari?

Pembahasan:

Misalkan:
$x$ = jumlah barang A yang diproduksi
$y$ = jumlah barang B yang diproduksi
$z$ = jumlah barang C yang diproduksi

Kita dapat membentuk sistem persamaan linear dari informasi yang diberikan:

Berdasarkan penggunaan bahan baku:
$2x + 3y + 1z = 30$ (Persamaan 1)
Berdasarkan waktu pengerjaan:
$3x + 2y + 4z = 35$ (Persamaan 2)
Berdasarkan total penjualan:
$50.000x + 70.000y + 40.000z = 760.000$
Sederhanakan dengan membagi semua suku dengan 10.000:
$5x + 7y + 4z = 76$ (Persamaan 3)

Sekarang kita memiliki sistem 3 persamaan linear dengan 3 variabel:

$2x + 3y + z = 30$
$3x + 2y + 4z = 35$
$5x + 7y + 4z = 76$

Kita bisa menyelesaikan ini menggunakan metode eliminasi/substitusi atau metode matriks (misalnya Cramer’s Rule atau Eliminasi Gauss-Jordan). Mari kita gunakan metode eliminasi:

Langkah 1: Eliminasi $z$ dari Persamaan 1 dan 2
Kalikan Persamaan 1 dengan 4:
$(2x + 3y + z = 30) times 4 implies 8x + 12y + 4z = 120$ (Persamaan 4)
Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 4:
$(8x + 12y + 4z) – (3x + 2y + 4z) = 120 – 35$
$5x + 10y = 85$
Bagi dengan 5:
$x + 2y = 17$ (Persamaan 5)

Langkah 2: Eliminasi $z$ dari Persamaan 2 dan 3
(Kebetulan koefisien $z$ sudah sama, jadi langsung kurangkan)
$(5x + 7y + 4z) – (3x + 2y + 4z) = 76 – 35$
$2x + 5y = 41$ (Persamaan 6)

Langkah 3: Eliminasi $x$ dari Persamaan 5 dan 6
Kalikan Persamaan 5 dengan 2:
$(x + 2y = 17) times 2 implies 2x + 4y = 34$ (Persamaan 7)
Kurangkan Persamaan 7 dari Persamaan 6:
$(2x + 5y) – (2x + 4y) = 41 – 34$
$y = 7$

Langkah 4: Substitusikan nilai $y$ ke Persamaan 5 untuk mencari $x$
$x + 2y = 17$
$x + 2(7) = 17$
$x + 14 = 17$
$x = 17 – 14$
$x = 3$

Langkah 5: Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke Persamaan 1 untuk mencari $z$
$2x + 3y + z = 30$
$2(3) + 3(7) + z = 30$
$6 + 21 + z = 30$
$27 + z = 30$
$z = 30 – 27$
$z = 3$

IV. Program Linear (Optimasi)

Program linear digunakan untuk memecahkan masalah optimasi yang melibatkan sumber daya terbatas, seringkali ditemukan dalam manajemen produksi, logistik, dan keuangan.

Contoh Soal 5: Program Linear (Maksimasi Keuntungan)

Sebuah toko roti memproduksi dua jenis roti: Roti A dan Roti B.

Untuk membuat 1 loyang Roti A, dibutuhkan 200 gram tepung dan 25 gram gula.
Untuk membuat 1 loyang Roti B, dibutuhkan 100 gram tepung dan 50 gram gula.

Toko tersebut memiliki persediaan 5 kg tepung dan 2 kg gula. Keuntungan dari penjualan 1 loyang Roti A adalah Rp20.000 dan Roti B adalah Rp15.000. Tentukan jumlah masing-masing roti yang harus diproduksi agar keuntungan yang diperoleh maksimum.

Pembahasan:

Langkah 1: Definisikan Variabel
Misalkan:
$x$ = jumlah loyang Roti A yang diproduksi
$y$ = jumlah loyang Roti B yang diproduksi

Langkah 2: Rumuskan Fungsi Tujuan (Fungsi Objektif)
Fungsi tujuan adalah untuk memaksimalkan keuntungan:
$Z = 20.000x + 15.000y$

Langkah 3: Rumuskan Batasan-batasan (Kendala)
Ubah satuan persediaan ke gram:
Tepung: 5 kg = 5000 gram
Gula: 2 kg = 2000 gram

Kendala Tepung:
$200x + 100y le 5000$
Sederhanakan dengan membagi 100:
$2x + y le 50$ (Kendala 1)
Kendala Gula:
$25x + 50y le 2000$
Sederhanakan dengan membagi 25:
$x + 2y le 80$ (Kendala 2)
Kendala Non-Negatif (Jumlah barang tidak mungkin negatif):
$x ge 0$
$y ge 0$

Langkah 4: Gambarkan Daerah Fisibel
Untuk menggambar, cari titik potong setiap kendala dengan sumbu-X dan sumbu-Y.

Kendala 1: $2x + y le 50$
Jika $x = 0$, maka $y = 50 implies (0, 50)$
Jika $y = 0$, maka $2x = 50 implies x = 25 implies (25, 0)$
Kendala 2: $x + 2y le 80$
Jika $x = 0$, maka $2y = 80 implies y = 40 implies (0, 40)$
Jika $y = 0$, maka $x = 80 implies (80, 0)$

Gambarlah garis-garis ini pada sistem koordinat kartesius. Daerah fisibel adalah area yang memenuhi semua ketidaksetaraan (biasanya area yang terdekat dengan titik (0,0) untuk tanda "$le$").

Langkah 5: Tentukan Titik Pojok Daerah Fisibel
Titik pojok adalah titik-titik di mana garis-garis kendala berpotongan, termasuk titik potong dengan sumbu koordinat.

(0, 0)
(25, 0) (perpotongan $2x + y = 50$ dengan sumbu-X)
(0, 40) (perpotongan $x + 2y = 80$ dengan sumbu-Y)
Titik potong antara $2x + y = 50$ dan $x + 2y = 80$
Dari $2x + y = 50 implies y = 50 – 2x$.
Substitusikan ke $x + 2y = 80$:
$x + 2(50 – 2x) = 80$
$x + 100 – 4x = 80$
$-3x = 80 – 100$
$-3x = -20$
$x = frac203$
Substitusikan $x = frac203$ ke $y = 50 – 2x$:
$y = 50 – 2left(frac203right) = 50 – frac403 = frac150 – 403 = frac1103$
Jadi, titik potongnya adalah $left(frac203, frac1103right)$ atau sekitar $(6.67, 36.67)$.

Langkah 6: Substitusikan Titik Pojok ke Fungsi Tujuan

Titik (0, 0): $Z = 20.000(0) + 15.000(0) = 0$
Titik (25, 0): $Z = 20.000(25) + 15.000(0) = 500.000$
Titik (0, 40): $Z = 20.000(0) + 15.000(40) = 600.000$
Titik $left(frac203, frac1103right)$:
$Z = 20.000left(frac203right) + 15.000left(frac1103right)$
$Z = frac400.0003 + frac1.650.0003$
$Z = frac2.050.0003 approx 683.333,33$

Dari hasil evaluasi, keuntungan maksimum adalah Rp683.333,33 yang dicapai saat $x = frac203$ dan $y = frac1103$. Karena jumlah roti harus berupa bilangan bulat, kita perlu mempertimbangkan titik-titik bilangan bulat terdekat di dalam atau pada batas daerah fisibel yang memberikan keuntungan tertinggi.
Melihat perbandingan nilai, (0,40) memberikan 600.000, (25,0) memberikan 500.000. Titik (6, 36) atau (7, 36) atau (6, 37) bisa jadi kandidat.
Jika $x=6, y=37$: $2(6)+37 =

poltekkespalangkaraya.ac.id

Mengasah Kemampuan Matematika: Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap untuk Kelas 3 SMK