Menjelajahi Matematika di Kelas 3 SMK: Contoh Soal dan Relevansinya (Kurikulum 2013, Tahun 2019)

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, namun di Sekolah Menengah Kejuruan (SMK), matematika memiliki peran yang sangat vital. Bukan sekadar angka dan rumus abstrak, matematika di SMK adalah fondasi bagi keterampilan teknis, analisis, dan pemecahan masalah yang akan diterapkan langsung di dunia kerja. Pada tahun 2019, Kurikulum 2013 telah mapan di seluruh jenjang pendidikan, termasuk SMK, membawa penekanan pada pendekatan saintifik dan kompetensi abad ke-21.

Artikel ini akan mengulas beberapa contoh soal matematika yang representatif untuk siswa kelas 3 SMK pada tahun 2019, mencakup berbagai topik yang relevan dengan kebutuhan kejuruan. Tujuan utamanya adalah memberikan gambaran konkret tentang jenis soal yang mungkin dihadapi, serta bagaimana konsep matematika ini diterapkan dalam konteks yang lebih praktis.

Filosofi Matematika di SMK (Kurikulum 2013)

Kurikulum 2013 untuk SMK dirancang untuk menghasilkan lulusan yang siap kerja, produktif, dan mampu beradaptasi dengan perubahan teknologi. Dalam konteks matematika, ini berarti pembelajaran tidak hanya berfokus pada penguasaan konsep, tetapi juga pada kemampuan:

1. Pemecahan Masalah: Mengidentifikasi masalah, merumuskan model matematika, dan menemukan solusi.
2. Berpikir Kritis dan Analitis: Menganalisis data, membuat inferensi, dan mengevaluasi argumen.
3. Aplikasi Praktis: Menghubungkan konsep matematika dengan situasi dunia nyata, seperti perhitungan biaya produksi, optimasi sumber daya, atau analisis data pasar.
4. Literasi Numerik: Kemampuan memahami dan menggunakan informasi kuantitatif dalam berbagai konteks.

Topik-topik yang diajarkan di kelas 3 SMK (sebelumnya kelas XII) pada umumnya mencakup kelanjutan dari materi kelas 1 dan 2, dengan penekanan pada aplikasi yang lebih mendalam dan relevan dengan bidang kejuruan siswa. Beberapa topik kunci meliputi: Barisan dan Deret, Program Linear, Matriks, Trigonometri Lanjut, Limit Fungsi, Turunan, Integral, serta Peluang dan Statistika.

Mari kita selami beberapa contoh soal dari masing-masing topik.

1. Barisan dan Deret (Aplikasi Bisnis/Teknik)

Barisan dan deret, baik aritmetika maupun geometri, sangat fundamental dalam perhitungan yang melibatkan pertumbuhan, penyusutan, atau akumulasi. Dalam SMK, ini sering diaplikasikan pada perhitungan bunga majemuk, penyusutan aset, atau perencanaan produksi.

Contoh Soal 1 (Barisan Aritmetika):
Sebuah perusahaan percetakan pada bulan Januari 2019 mampu memproduksi 1.000 buah buku. Karena permintaan pasar yang terus meningkat, perusahaan menargetkan kenaikan produksi sebesar 150 buku setiap bulannya. Jika target ini tercapai, berapa total buku yang telah diproduksi perusahaan tersebut hingga akhir bulan Juni 2019?

Pembahasan:
Ini adalah soal barisan aritmetika karena ada kenaikan produksi yang konstan setiap bulan.

• Suku pertama (a) = produksi bulan Januari = 1.000 buku
• Beda (b) = kenaikan produksi per bulan = 150 buku
• Jumlah bulan (n) yang dihitung = Januari hingga Juni = 6 bulan

Kita perlu mencari jumlah total produksi (Sn) selama 6 bulan.
Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika adalah: $S_n = fracn2 (2a + (n-1)b)$

$S_6 = frac62 (2(1000) + (6-1)150)$
$S_6 = 3 (2000 + (5)150)$
$S_6 = 3 (2000 + 750)$
$S_6 = 3 (2750)$
$S_6 = 8.250$

Jawaban: Total buku yang telah diproduksi perusahaan hingga akhir bulan Juni 2019 adalah 8.250 buah buku.

2. Program Linear (Optimasi Sumber Daya)

Program linear adalah alat matematika yang sangat ampuh untuk optimasi, yaitu mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi objektif dengan mempertimbangkan batasan-batasan (kendala) yang ada. Ini relevan untuk manajemen produksi, alokasi sumber daya, atau perencanaan bisnis.

Contoh Soal 2:
Seorang pengusaha kue membuat dua jenis kue: kue A dan kue B. Untuk membuat 1 buah kue A, dibutuhkan 100 gram tepung dan 20 gram gula. Untuk membuat 1 buah kue B, dibutuhkan 50 gram tepung dan 30 gram gula. Pengusaha tersebut memiliki persediaan 4 kg tepung dan 1,2 kg gula. Jika keuntungan dari 1 buah kue A adalah Rp 5.000,00 dan 1 buah kue B adalah Rp 4.000,00, tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pengusaha tersebut!

Pembahasan:
Langkah-langkah penyelesaian program linear:

1. Definisikan Variabel:
   • Misalkan x = jumlah kue A yang diproduksi
   • Misalkan y = jumlah kue B yang diproduksi
2. Rumuskan Fungsi Kendala (Batas):
   • Persediaan tepung: $100x + 50y le 4000$ (karena 4 kg = 4000 gram). Disederhanakan menjadi $2x + y le 80$
   • Persediaan gula: $20x + 30y le 1200$ (karena 1,2 kg = 1200 gram). Disederhanakan menjadi $2x + 3y le 120$
   • Batas non-negatif: $x ge 0$, $y ge 0$ (jumlah kue tidak mungkin negatif)
3. Rumuskan Fungsi Objektif (Keuntungan):
   • $Z = 5000x + 4000y$ (akan dimaksimalkan)
4. Gambar Daerah Fisibel:
   • Gambarkan garis $2x + y = 80$. Titik potong sumbu: (40,0) dan (0,80).
   • Gambarkan garis $2x + 3y = 120$. Titik potong sumbu: (60,0) dan (0,40).
   • Tentukan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan (daerah fisibel).
5. Tentukan Titik Pojok Daerah Fisibel:
   • (0,0)
   • (40,0) – perpotongan $2x+y=80$ dengan sumbu-x
   • (0,40) – perpotongan $2x+3y=120$ dengan sumbu-y
   • Titik potong antara $2x + y = 80$ dan $2x + 3y = 120$:
     • Kurangkan kedua persamaan: $(2x + 3y) – (2x + y) = 120 – 80 Rightarrow 2y = 40 Rightarrow y = 20$
     • Substitusikan $y=20$ ke $2x + y = 80 Rightarrow 2x + 20 = 80 Rightarrow 2x = 60 Rightarrow x = 30$
     • Titik potong: (30,20)
6. Substitusikan Titik Pojok ke Fungsi Objektif:
   • $Z(0,0) = 5000(0) + 4000(0) = 0$
   • $Z(40,0) = 5000(40) + 4000(0) = 200.000$
   • $Z(0,40) = 5000(0) + 4000(40) = 160.000$
   • $Z(30,20) = 5000(30) + 4000(20) = 150.000 + 80.000 = 230.000$

Jawaban: Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pengusaha tersebut adalah Rp 230.000,00, yaitu dengan memproduksi 30 kue A dan 20 kue B.

3. Matriks (Sistem Persamaan Linear)

Matriks digunakan untuk merepresentasikan dan memecahkan sistem persamaan linear, yang banyak ditemukan dalam masalah rekayasa, ekonomi, atau manajemen.

Contoh Soal 3:
Sebuah toko elektronik menjual 2 jenis paket komputer. Paket A terdiri dari 1 unit CPU, 1 unit monitor, dan 1 unit keyboard dengan harga Rp 5.000.000,00. Paket B terdiri dari 2 unit CPU, 1 unit monitor, dan 1 unit keyboard dengan harga Rp 8.000.000,00. Jika harga 1 unit CPU adalah Rp 3.000.000,00, berapa harga 1 unit monitor dan 1 unit keyboard? (Gunakan metode matriks invers atau eliminasi/substitusi yang direpresentasikan dalam matriks).

Pembahasan (Menggunakan Eliminasi/Substitusi dengan representasi Matriks):
Misalkan:

• x = harga 1 unit CPU
• y = harga 1 unit monitor
• z = harga 1 unit keyboard

Dari informasi yang diberikan, kita punya sistem persamaan linear:

1. $x + y + z = 5.000.000$ (Paket A)
2. $2x + y + z = 8.000.000$ (Paket B)
3. $x = 3.000.000$ (Harga CPU diketahui)

Substitusikan nilai x ke persamaan 1 dan 2:

1. $3.000.000 + y + z = 5.000.000 Rightarrow y + z = 2.000.000$
2. $2(3.000.000) + y + z = 8.000.000 Rightarrow 6.000.000 + y + z = 8.000.000 Rightarrow y + z = 2.000.000$

Dari kedua persamaan yang disederhanakan, kita mendapatkan hasil yang sama: $y + z = 2.000.000$.
Ini berarti kita hanya bisa menemukan total harga monitor dan keyboard, bukan harga masing-masing secara terpisah, karena sistem persamaan tersebut tidak independen untuk y dan z.

Jika soal meminta harga total monitor dan keyboard, maka jawabannya adalah Rp 2.000.000,00.
Jika soal ingin harga masing-masing, maka perlu ada informasi tambahan (misalnya, harga 1 unit keyboard atau persamaan ketiga yang melibatkan y dan z secara berbeda).

Contoh Soal Matriks lain (Operasi Matriks):
Diketahui matriks $A = beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix$ dan $B = beginpmatrix 0 & 5 2 & -1 endpmatrix$. Tentukan $2A – B$.

Pembahasan:
$2A = 2 beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix = beginpmatrix 2 times 2 & 2 times 1 2 times 3 & 2 times 4 endpmatrix = beginpmatrix 4 & 2 6 & 8 endpmatrix$

$2A – B = beginpmatrix 4 & 2 6 & 8 endpmatrix – beginpmatrix 0 & 5 2 & -1 endpmatrix$
$2A – B = beginpmatrix 4-0 & 2-5 6-2 & 8-(-1) endpmatrix$
$2A – B = beginpmatrix 4 & -3 4 & 9 endpmatrix$

Jawaban: $2A – B = beginpmatrix 4 & -3 4 & 9 endpmatrix$.

4. Trigonometri (Aplikasi dalam Teknik/Desain)

Trigonometri di SMK seringkali berkaitan dengan pengukuran sudut, jarak, dan tinggi dalam konteks nyata, seperti perhitungan ketinggian menara, lebar sungai, atau desain konstruksi.

Contoh Soal 4:
Seorang teknisi berdiri pada jarak 12 meter dari kaki sebuah gedung. Sudut elevasi (sudut pandang ke atas) ke puncak gedung dari tempat teknisi berdiri adalah 30 derajat. Jika tinggi teknisi tersebut diabaikan, berapa tinggi gedung tersebut?

Pembahasan:
Ini adalah masalah trigonometri dasar yang melibatkan fungsi tangen.

• Jarak teknisi ke gedung (sisi samping sudut) = 12 meter
• Sudut elevasi = 30 derajat
• Tinggi gedung (sisi depan sudut) = h (yang dicari)

Kita tahu bahwa $tan(theta) = fractextsisi depantextsisi samping$.
$tan(30^circ) = frach12$
Kita tahu nilai $tan(30^circ) = frac1sqrt3$ atau $fracsqrt33$.

$frac1sqrt3 = frach12$
$h = frac12sqrt3$
$h = frac12sqrt33$ (rasionalkan penyebut)
$h = 4sqrt3$ meter

Jika $sqrt3 approx 1.732$, maka $h approx 4 times 1.732 = 6.928$ meter.

Jawaban: Tinggi gedung tersebut adalah $4sqrt3$ meter atau sekitar 6,93 meter.

5. Limit Fungsi, Turunan, dan Integral (Dasar Kalkulus untuk Teknik)

Meskipun kalkulus (limit, turunan, integral) mungkin tidak diajarkan sedalam di SMA jurusan IPA, konsep dasarnya tetap penting di beberapa program keahlian SMK, terutama yang berhubungan dengan teknik, manufaktur, atau teknologi informasi. Konsep ini digunakan untuk analisis perubahan, optimasi, dan perhitungan akumulasi.

Contoh Soal 5 (Aplikasi Turunan – Optimasi):
Biaya produksi x unit barang dinyatakan oleh fungsi $B(x) = 2x^2 – 100x + 5000$ (dalam ribuan rupiah). Tentukan jumlah unit barang yang harus diproduksi agar biaya produksi minimum, dan berapa biaya minimum tersebut!

Pembahasan:
Untuk mencari nilai minimum atau maksimum dari suatu fungsi, kita gunakan konsep turunan pertama.

1. Turunkan Fungsi Biaya:
   $B'(x) = fracddx (2x^2 – 100x + 5000)$
   $B'(x) = 4x – 100$
2. Atur Turunan Pertama Sama dengan Nol (Titik Kritis):
   $4x – 100 = 0$
   $4x = 100$
   $x = 25$
   Ini berarti biaya produksi akan minimum ketika diproduksi 25 unit barang.
3. Substitusikan Nilai x ke Fungsi Biaya Asli:
   $B(25) = 2(25)^2 – 100(25) + 5000$
   $B(25) = 2(625) – 2500 + 5000$
   $B(25) = 1250 – 2500 + 5000$
   $B(25) = 3750$

Jawaban: Biaya produksi minimum terjadi ketika 25 unit barang diproduksi, dengan biaya minimum sebesar Rp 3.750.000,00 (karena dalam ribuan rupiah).

6. Peluang dan Statistika (Analisis Data dan Pengambilan Keputusan)

Peluang dan statistika sangat relevan di semua bidang kejuruan, mulai dari kontrol kualitas di manufaktur, analisis pasar di bisnis, hingga interpretasi data dalam bidang kesehatan.

Contoh Soal 6 (Peluang Kombinasi):
Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola biru. Jika diambil 3 bola secara acak sekaligus, berapa peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru?

Pembahasan:
Ini adalah masalah peluang yang melibatkan kombinasi, karena urutan pengambilan bola tidak penting.

1. Total Bola: 6 merah + 4 biru = 10 bola
2. Cara Mengambil 3 Bola dari 10 Bola (Ruang Sampel):
   Menggunakan rumus kombinasi $C(n, k) = fracn!k!(n-k)!$
   $C(10, 3) = frac10!3!(10-3)! = frac10!3!7! = frac10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 10 times 3 times 4 = 120$ cara.
3. Cara Mengambil 2 Bola Merah dari 6 Bola Merah (Kejadian yang Diinginkan):
   $C(6, 2) = frac6!2!(6-2)! = frac6!2!4! = frac6 times 52 times 1 = 15$ cara.
4. Cara Mengambil 1 Bola Biru dari 4 Bola Biru (Kejadian yang Diinginkan):
   $C(4, 1) = frac4!1!(4-1)! = frac4!1!3! = frac41 = 4$ cara.
5. Jumlah Cara Terambil 2 Merah dan 1 Biru:
   $N(textE) = C(6, 2) times C(4, 1) = 15 times 4 = 60$ cara.
6. Hitung Peluang:
   $P(textE) = fracN(textE)N(textS) = frac60120 = frac12$

Jawaban: Peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah $frac12$.

Tips dan Strategi Belajar Matematika untuk Kelas 3 SMK (2019 dan Seterusnya):

1. Pahami Konsep, Bukan Hanya Rumus: Jangan hanya menghafal rumus. Pahami dari mana rumus itu berasal dan bagaimana cara menggunakannya.
2. Latihan Soal Bervariasi: Seringlah mengerjakan soal-soal latihan dari berbagai sumber, termasuk soal-soal UN (Ujian Nasional) atau Ujian Sekolah tahun-tahun sebelumnya yang relevan dengan Kurikulum 2013.
3. Fokus pada Aplikasi: Selalu tanyakan pada diri sendiri, "Bagaimana konsep ini digunakan dalam dunia nyata atau di bidang kejuruan saya?" Ini akan membuat matematika lebih menarik dan mudah dipahami.
4. Gunakan Sumber Belajar Lain: Manfaatkan buku pelajaran, modul, video tutorial online, atau aplikasi belajar matematika.
5. Diskusi dan Bertanya: Jangan ragu untuk berdiskusi dengan teman atau bertanya kepada guru jika ada konsep yang belum dipahami.
6. Buat Ringkasan Materi: Catat rumus-rumus penting dan langkah-langkah penyelesaian untuk setiap topik.

Kesimpulan

Matematika di kelas 3 SMK pada tahun 2019, yang berlandaskan Kurikulum 2013, menekankan pada penguasaan konsep yang aplikatif dan relevan dengan dunia kerja. Contoh-contoh soal di atas menunjukkan bagaimana berbagai topik matematika, mulai dari barisan deret hingga peluang dan kalkulus dasar, berperan penting dalam memecahkan masalah praktis di berbagai bidang kejuruan.

Bagi para siswa, menguasai matematika bukan hanya tentang lulus ujian, tetapi juga tentang membangun fondasi keterampilan berpikir logis, analitis, dan pemecahan masalah yang esensial untuk kesuksesan di dunia profesional. Dengan pemahaman yang kuat dan latihan yang konsisten, matematika akan menjadi alat yang sangat berharga dalam perjalanan karier Anda.